El Concepto de Infinito Por Humberto Ojeda Gudiño

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Estamos acostumbrados a hablar del infinito en nuestra vida cotidiana, decimos que vivimos en un espacio infinito, que el tiempo por transcurrir es infinito, que nuestros dioses son eternos, una manera de decir que existirán un tiempo infinito, y hasta nos atrevemos a decir que amamos a otra persona infinitamente.

Pero, ¿qué es el infinito? Existe realmente algo que sea infinito o existe solamente el infinito como un concepto, como una idea?

Hay cosas que son muy numerosas, por ejemplo los granos de arena que existen en la tierra o las estrellas que hay en el universo.

Hay aproximadamente 7,5 por 10 a la 18 granos de arena sobre el planeta. O sea 7500 billones (millones de millones de granos de arena) y hay 70 mil trillones de estrellas en el universo, o sea 70 mil millones de millones de millones de estrellas. Hay 10 mil veces más estrellas en el universo que granos de arena sobre La Tierra.

Son cantidades muy grandes, abrumadoras ciertamente, pero son finitas.

Y son finitas porque si tuviéramos   el tiempo suficiente, las podríamos contar, si dispusiéramos de tiempo suficiente terminaríamos de contarlas.

Por ejemplo, si duráramos un Segundo en contar cada grano de arena, los contaríamos a todos, uno por uno, en aproximadamente 238 millones de años y el número de estrellas lo contaríamos, una a una, en 238 mil millones de años, aproximadamente. Duraríamos mucho tiempo, pero ¡lo haríamos!

Durante siglos pensamos también que el universo en el que vivimos estaba conformado por un Espacio Infinito regido  por El Tiempo que transcurriría para siempre. Hoy sabemos que no es así, el universo, el espacio-tiempo en el que vivimos es finito y algún día se encogerá de nuevo a un punto.

Así que no es fácil dar un ejemplo de una entidad, de un conjunto, infinito.

Es complicado dar una definición de infinito, pero podemos tomar un atajo.

Definiremos lo que es finito, y llamaremos infinito a lo que no es finito.

Y finito, como lo dejaban ver los ejemplos que pusimos, es algo que podemos contar, enumerar, y cuyo conteo podemos terminar así nos tomara una muy grande cantidad de tiempo.

Los granos de arena, las estrellas del universo son, de acuerdo a nuestra definición, conjuntos finitos.

Un conjunto será infinito si no es finito.

Por ejemplo, los números naturales, 1,2,3,…. considerados todos juntos, forman un conjunto infinito. No podemos terminar de contarlos nunca.

Y no podemos porque cada vez que lleguemos a un candidato a ser el último, siempre hay otro que le sigue, el que resulta de sumarle 1 al que tenemos, siempre hay un siguiente.

Hay muchos conjuntos infinitos, los números pares, los números primos, los números racionales son también ejemplos de conjuntos infinitos.

Todos estos conjuntos son infinitos pero todos son del mismo “tamaño”

Por ejemplo, consideremos los números naturales 1,2,3,4,5,….etc y los números pares 2,4,6,8,10,… etc

El segundo conjunto es una parte del primero, está contenido en el primero, pero es del mismo tamaño pues podemos hacerlos corresponder de manera perfecta: 1 con 2, 2 con 4, 3 con 6, 4 con 8, …., n con 2n,…

Y aquí hemos llegado a una de las características de lo conjuntos infinitos, un conjunto infinito puede ser del mismo tamaño que una de parte de él, de hecho !siempre lo es¡

Eso no pasa con las cantidades finitas,“El todo es mayor que cualquiera de sus partes” es un supuesto formulado por Aristóteles en su Metafísica hace unos 2400 años y aceptado en Geometría y en Matemáticas desde Euclides, hace unos 2300 años, hasta que se estudió el concepto que nos ocupa.

¿Y todos los infinitos son del mismo tamaño?

La respuesta es que no. Los números reales son un conjunto infinito, pero de un infinito más grande que el infinito de los números naturales.

Los matemáticos dicen que los números reales son infinitos pero no numerables.

¿Y hay otros infinitos más grandes?

Sí, hay infinitos infinitos, leyó bien, hay una cantidad infinita de infinitos, y dado cualquiera de ellos siempre habrá uno mayor.

Hasta aquí dejamos este artículo que esperamos que al menos sirva de motivación para que escudriñen más en el tema, pero háganlo con cuidado amigos lectores, sin obsesionarse con el tema pues hacerlo llevó al manicomio al mismo Georg Cantor, el matemático ruso que descubrió y sistematizó el concepto de infinito.

 

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